M@nJ@r Bl@nCo

INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA

1.- Figuras planas conocidas:

1.1.-concepto:

a) Cuadrado:

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

b) rectángulo:

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

c) triángulo:

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.

d) trapecio:

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º

e) rombo:

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª

f) Paralelogramo:

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

g) Círculo:

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro

h) pentágono:

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales

hexágono:

Referencias:

http://www.bbo.arrakis.es/geom/

h http://www.arrakis.es/~bbo/geom/indice.htm

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2.- Perímetros de las figuras planas:

a) Cuadrado

Perímetro = 4a

b) rectángulo

Perímetro = 2(a +b)

c) triángulo

Perímetro = a + b + c

d) trapecio

Perímetro = 2(a +b)

e) rombo

Perímetro = 2(a +b)

f) paralelogramo

Perímetro = 2(a +b)

g) círculo

Perimetro: el contorno

h) pentágono,

Perímetro = 5(a)

i) hexágono

Perímetro = 6(a)

Referencias:

http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

3.-Áreas de figuras planas:

a) Cuadrado:

Área del cuadrado = lado al cuadrado

b) rectángulo:

Área del rectángulo = base.altura

c) triangulo:

Área del triángulo = (base . altura) / 2

d) trapecio:

Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

e) rombo:

Área del rombo = (diagonal mayor.diagonal menor) / 2

f) paralelogramo:

Área del paralelogramo = base.altura

g) círculo:

Área del círculo = 3'14.radio al cuadrado

h) pentágono:

Área del pentágono = (perímetro.apotema) / 2

i) hexágono:

Área del hexágono = (perímetro.apotema) / 2

Referencias:

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/areas.htm

http://www.educarchile.cl/ntg/sitios_educativos/1618/propertyvalue-23062.html

http://www.educared.cl/e5_area.htm

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4.-Poliedros o Sólidos geométricos:

4.1) Concepto y elementos (caras, aristas, vértices).

Son cuerpos reales que ocupan un lugar en el espacio, es decir un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas.

Elementos:

Caras: Las caras son partes externas de un determinado sólido. Ej: Las caras de las piramides egipcias son 4.

Arista: es todo aquel segmento de recta donde se cruzan dos planos. Ej: Las caras que concurren en un mismo arista de las piramides de Egipto.
Vértice: El vértice es aquel punto de convergencia entre dos o más segmentos de recta. Ej: El vértice superior de las pirámide Keops alcanza los 146,59 metros de altura.

4.2) Poliedros regulares:

-Concepto:

Se llaman poliedros regulares a todos aquellos que todas sus caras están formadas por polígonos regulares iguales, que unidos entre sí forman iguales ángulos poliedros. Clases:

a) Características de los poliedros regulares:

- Tipos de poliedros regulares:

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a) Tetraedro regular:

Es todo aquel que posee cuatro triángulos equiláteros unidos de tres en tres, forman un tetraedro regular. Posee seis aristas y cuatro vértices.

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b) Hexaedro regular o cubo:

Es aquel poliedro que tiene seis caras, que unidas entre sí forman 4 ángulos rectos. Posee 12 aristas y también 8 vértices

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c) Octaedro regular:

Es todo aquel poliedro que posee ocho caras forzosamente regulares entre sí, debido al númeo de éstas puede ser cóncavo o convexo. Tiene 12 aristas y 6 vértices

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d) Dodecaedro regular:

Poliedro que tiene 12 caras en total, todas iguales entre sí. Posee además 30 aristas, así como también 20 vértices

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e) Icosaedro regular

Es todo aquel poliedro que tiene 20 caras, todas formados por polígonos regulares en forma de triángulos equiláteros. Posee 30 aristas, como también 12 vértices.

Referencias:

www.wkipedia.es

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Ikosaeder-Animation.gif

http://es.wikipedia.org/wiki/Dodecaedro

5.- Área de la base, área lateral, área total y volumen de los poliedros regulares,

a) Prismas:

-Concepto:

El Prisma es un poliedro formado por dos copias paralelas de alguna base poligonal unidas por caras que pueden variar entre rectángulos o paralelogramos.

En el caso en que las caras de unión sean rectangulares, el objeto es llamado prisma recto.

El prisma rectangular o más conocido como cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y Octagonal, respectivamente.
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El volumen de un prisma resulta de el producto del área de una de las bases con la longitud de los lados de unión.

Volumen = (Area de la Base)*(Distancia entre las bases)

-Nombre de los prismas o clasificación:

Prisma oblicuo: Un prisma oblicuo es un prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases

Prisma recto : Se clasifica por tener dos caras congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectángulos. La altura es la distancia entre las caras paralelas.

Prisma regular : Este solido esta limitado por dos poligonos regulares a los que reciben el nombre de base y tantos rectangulos como lados tenga la base .

b) Paralelepípedo:

-Concepto:

Tiene, por lo general, dos caras horizontales ( que son las bases inferior y superior, o piso y techo) rectangulares, con cuatro caras laterales (paredes planas) verticales, paralelas entre sí y perpendiculares a las bases.

Clasificación:

Paralelepípedo recto: Si sus aristas laterales a las bases son perpendiculares. Las caras son regiones rectangulares

Paralelepípedo rectangular: Este paralelepípedo tiene las sigientes características donde todas sus caras son regiones rectangulares. Recibe también el nombre ortoedro o rectoedro. Cuando todas las aristas son congruentes, se llama cubo o hexaedro regular.

rectoedro:

Ortoedro:El ortoedro es un paralelepípedo recto de base rectangular.
Cubo o hexaedro regular: Un hexaedro es un poliedro de seis caras llamado cubo, todas sus caras son iguales.

Romboedro: Es todo aquel paralelepípedo que tiene por bases regiones romboédricas o con forma de un polígono de rombo.

6.- Área de la base, área lateral, área total, volumen de los prismas y paralelepípedos.

Tataedro:

Área de la base: en este poliedro cualquier lado puede ser la base:

Base x altura/2

Área lateral: en este poliedro cualquier cara puede ser una cara lateral:
Base x altura/2

Área Total:

$A=4 \cdot A_c=4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \sqrt{3} \cdot a^2 \approx 1.73 \cdot a^2$

Volumen:

$V=\frac{1}{12} \sqrt{2} \cdot a^3 \approx 0.118 \cdot a^3$

Hexaedro regular:

Área de la Base:

Depende de el cuadrado o del pentágono, según su forma.

Área lateral:

4 x arista al cuadrado.

Área total:

$A=6 \cdot A_c=6 \cdot a^2$

Volumen:

V = a3

Octaedro regular:

Área de la Base:

Base x altura/2

Área total:

$A=8 \cdot A_c=8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 2 \sqrt{3} \cdot a^2$

Volumen:

$V=\frac{1}{3} \sqrt{2} \cdot a^3$

Dodecaedo regular:

Área de la Base: es el área de un cuadrado o de un pentágono dependiendo.

Área Total:

$A=12 \cdot \frac{\sqrt{25+10 \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2=3 \sqrt{25+10 \sqrt{5}} \cdot a^2$

Volumen:

$V=\frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right)\cdot a^3$

Icosaedro:

Volumen:

$V=\frac{5}{12} \left(3+ \sqrt{5} \right) \cdot a^3$

Pirámide:

Concepto:

La pirámide es todo aquel cuerpo geométrico, formado por triángulos como lados, que se unen en el mismo vértice. Además una de sus caras es un poligono cualquiera que recibe el nombre de base.

Formulas para hallar el:

Área de la base: Base x Altura

Área lateral: es el total de todas las áreas de las caras laterales.

Área total: es a suma total entre el área lateral y entre el área de la base.

Volumen: se halla mediante la multiplicación de área, elevada al cuadrado y entre la altura, todo esto entre tres.

Referencias:
http://es.wikipedia.org/wiki/Piramide_(geometria)

Elementos de la pirámide:

Caras: Las caras de las pirámides son las partes externas del mencionado paralelepipedo, además tiene la característica de que el número de caras es igual a los lados de la base de la pirámide.

Lados: Los lados de la base de la pirámide reciben el nombre de aristas básicas.

Base: La base cumple un rol muy importante en el nombre de la pirámide, ya depende del número de lados que tiene

Tipos de piramides:

Pirámide regular: recibe este nombre cuando la base es un polígono regular y cuando además todas las aristas laterales son congruentes, o sea de igual longitud. A partir de esta definición deducimos que todas las caras de una pirámide regular son triángulos isósceles congruentes y que la altura cae en el centro de la base.

Pirámide triangular: este triángulo tiene las propiedades de que su base tiene la forma de un triángulo equilatero, y la de sus caras laterales la un triángulo isósceles.

El Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base. Figura también como sólido geométrico.

Referencias:

http://www.educared.cl/e5_volumen_piramide.htm

www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/actividadespoliedros.htm

Cilindro de revolución:

Concepto: El cilindro de recto es tambien conocido como cilindor de revolución . Es afirmativo decir que el cilindro se forma por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados . El lado opuesto al eje de giro es la generatriz y genera la superficie lateral del cilindro, los lados perpendiculares al eje de giro generan los círculos básicos.

Área de la base: La fórmula que se utiliza para determinar el area de la base de un cilindro es la de un circulo , ya que sus bases son circulares . Su formula sería :

Área lateral:

Si llamamos L a la longitud de la generatriz y R al radio de la base, el área lateral será.

A = 2 (3.14) (r) (l)

Àrea total : Para determinar el área total de un cilindro de revolución . Tenemos que hallar su area lateral y su area basal y sumados dichas áreas nos da el total del área del cilindro a lo que se le denomina: El area total.

Volumen: El lado opuesto al eje de giro es la generatriz y genera la superficie lateral del cilindro, los lados perpendiculares al eje de giro generan los círculos básicos.

'Cálculo Integral'

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Cono de revolución:

concepto :Se llama cono de revolución o simplemente cono, a la porción de espacio delimitada por una superficie de revolución cónica y un plano perpendicular al eje.

Área de la base: El cono tiene una sola base y tiene forma rectangular , se puede determinar que tambien su area de la base se halla mediante la formula de hallar el area de un circulo al igual que un cilindro . La diferencia que el cilindro tiene 2 bases .

Àrea lateral: El area lateral de un cono de revolución es : altura . radio. generatriz

Sl = 3.14 ( r ) x h

Área de la base, área lateral, área total y volumen del cilindro de revolución

Cono de revolución: concepto
Área de la base, área lateral, área total y volumen del cono de revolución

Esfera: concepto
Área y volumen de la esfera.

Ejercicios y problemas
Problemas de aplicación donde se determinan medidas desconocidas aplicando el despeje de variables en una fórmula.
Teorema de Pitágoras.

Pagina de problemas:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm

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viernes, mayo 12, 2006

Matematica